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如圖1所示，在邊長為的正方形中，，且，,分別交于點，將該正方形沿、折疊，使得與重合，構成如圖2所示的三棱柱中

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）在底邊上有一點,,

求證：面

(III)求直線與平面所成角的正弦值．

（Ⅰ）略，（Ⅱ）略，（Ⅲ）直線與平面所成角的正弦值為


解析:

（Ⅰ）證明：因為，，

所以，從而，即．………………………2分

又因為，而，

所以平面,又平面

所以；………………4分

（Ⅱ）解：過作交于,連接,

因為……………6分

四邊形為平行四邊形

,所以平面…………………………8分

(III)解：由圖1知，,分別以為軸，

則

………10分

設平面的法向量為，

所以得，

令，則，

所以直線與平面所成角的正弦值為…………………………12分

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A′1A1中，BB1∥CC1∥AA1，且AB=3，BC=4，AA′1分別交BB1，CC1于點P、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A′1與AA1重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1，請在圖2中解決下列問題：
（1）求證：AB⊥PQ；
（2）在底邊AC上有一點M，滿足AM；MC=3：4，求證：BM∥平面APQ．
（3）求直線BC與平面APQ所成角的正弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD1A1中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點B1，P，作CC1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點C1，Q，將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得DD1與AA1重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積；
（Ⅲ）求平面PQA與平面BCA所成銳二面角的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖1所示，在邊長為12的正方形AA′A1′A1中，點B，C在線段AA′上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點B1、P，作CC1∥AA1，分別交A1A1′、AA1′于點C1、Q，將該正方形沿BB1、CC1折疊，使得A′A1′與AA1重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，求證：AB⊥平面BCC1B1；
（2）求平面APQ將三棱柱ABC-A1B1C1分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖1所示，在邊長為12的正方形ADD1A1中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點B1，P，作CC1∥AA1，分別交A1D1，AD1于點C1，Q，將該正方形沿BB1，CC1折疊，使得DD1與AA1重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A1B1C1．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC1B1；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積；

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