Question

已知球的直徑SC=4，A，B是該球球面上的兩點，AB=

3

，∠ASC=∠BSC=30°，則棱錐S-ABC的體積為（　　）

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、1

Answer 1

分析：設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD，說明SC是球的直徑，利用余弦定理，三角形的面積公式求出S_△SCD，和棱錐的高AB，即可求出棱錐的體積．

解答：解：設球心為點O，作AB中點D，連接OD，CD 因為線段SC是球的直徑，
所以它也是大圓的直徑，則易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2

3

又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2

3

則：SA=SB，AC=BC
因為點D是AB的中點所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD=

SA2-AD2

=

12- 3 4

=

3 5

2

在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD=

AC2-AD2

=

4- 3 4

=

13

2

又SD交CD于點D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱錐S-ABC的體積：V=

1

3

AB•S_△SCD，
因為：SD=

3 5

2

，CD=

13

2

，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD²+CD²-SC²）

1

2SD•CD

=（

45

4

+

13

4

-16）

1

2×  3 5 2  × 13 2

=-

6

4

1

3 65 2

=-

1

65

則：sin∠SDC=

1-cos2∠SDC

=

8

65

由三角形面積公式得△SCD的面積S=

1

2

SD•CD•sin∠SDC=

1

2

×

3 5

2

×

13

2

×

8

65

=3
所以：棱錐S-ABC的體積：V=

1

3

AB•S_△SCD=

1

3

×

3

×3=

3

故選C

點評：本題是中檔題，考查球的內接棱錐的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力，有難度的題目，常考題型．