Question

已知函數f(x)=

-x2+2x (x＞0) 0，(x=0) x2+mx    (x＜0)

為奇函數；
（1）求f（-1）以及m的值；
（2）在給出的直角坐標系中畫出y=f（x）的圖象；
（3）若函數g（x）=f（x）-2k+1有三個零點，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）是奇函數及f（-1）與f（1）的關系可求f（-1），根據f（x）解析式表示出f（-1）得一關于m的方程可求m值；
（2）由（1）可知f（x）的解析式，根據解析式即可畫出其圖象；
（3）數形結合，轉化為兩函數y=f（x）與y=2k-1圖象的交點個數問題即可解決．

解答：（1）∵f（x）為奇函數，且f（1）=-1²+2×1=1，∴f（-1）=-f（1）=-1．
而f（-1）=（-1）²+m（-1）=1-m=-1，所以m=2．
故f（-1）=-1，m=2．
（2）由（1）知函數f（x）=

-x2+2x，(x＞0) 0，(x=0) x2+2x，(x＜0)

，則y=f（x）的圖象如右圖所示：
（3）若函數g（x）=f（x）-2k+1有三個零點，即函數y=f（x）與函數y=2k-1的圖象有三個交點，
   由圖象知：-1＜2k-1＜1，解得0＜k＜1．
故實數k的取值范圍為（0，1）．

點評：本題考查了函數的奇偶性、函數作圖及函數零點問題，有一定綜合性．本題三問環環相扣，由淺入深，解決本題關鍵是掌握有關基本概念、基本方法及轉化、數形結合思想．