Question

給出以下4個命題，其中所有正確結論的序號是

（1）（3）

（1）當a為任意實數時，直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過定點P則焦點在y軸上且過點P拋物線的標準方程是x²=

4

3

y．
（2）若直線l₁：2kx+（k+1）y+1=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，則實數k=1；
（3）已知數列{a_n}對于任意p，q∈N^*，有a_p+a_q=a_p+q，若a₁=

1

9

，則a₃₆=4
（4）對于一切實數x，令[x]大于x最大整數，例如：[3.05]=3，[

5

3

]=1，則函數f（x）=[x]稱為高斯函數或取整函數，若a_n=f（

n

3

）（n∈N^*），S_n為數列{a_n}的前n項和，則S₅₀=145．

Answer 1

分析：（1）求出直線（a-1）x-y+2a+1=0恒過P點，設出焦點在y軸上的拋物線標準方程，代入點P坐標即可；
（2）由直線垂直的充要條件A₁A₂+B₁B₂=0，求出k的值；
（3）由a_p+a_q=a_p+q，得a_n=na₁，再由a₁得a₃₆；
（4）由a_n=f（

n

3

）=[

n

3

]（n∈N^*），可得S₅₀=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16，計算出結果來．

解答：解：（1）∵直線（a-1）x-y+2a+1=0，
∴a（x+2）-x-y+1=0，∴

x+2=0 -x-y+1=0

，
解得

x=-2 y=3

，
∴直線恒過（-2，3）點；
設焦點在y軸上且過點P的拋物線的標準方程是x²=2py，
則（-2）²=2p×3，解得p=

2

3

，
∴拋物線方程為x²=

4

3

y，即（1）正確；
（2）若直線l₁：2kx+（k+1）y+1=0與直線l₂：x-ky+2=0垂直，則2k+（k+1）•（-k）=0，
即k²-k=0，解得k=0或k=1，故（2）錯誤；
（3）若a_p+a_q=a_p+q，則a_n=na₁，∴由a₁=

1

9

可得a₃₆=4，故（3）正確；
（4）∵a_n=f（

n

3

）=[

n

3

]（n∈N^*），
∴S₅₀=0+0+1+1+1+2+2+2+…+16+16+16=3×

16×17

2

=408，∴（4）錯誤．
綜上，正確命題的序號是（1）（3）．
故答案為：（1）（3）

點評：本題通過命題真假的判定，考查了數列與函數的綜合運用，以及直線方程的有關知識，是容易出錯的題目．