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已知橢圓
x2
2
+
y2
4
=1兩焦點分別為F1、F2，P是橢圓在第一象限弧上一點，并滿足
PF1
•
PF2
=1，過P作傾斜角互補的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點．
（1）求P點坐標；
（2）求證：直線AB的斜率為定值；
（3）求△PAB面積的最大值．
（1）由題可得F1(0，
2
)，F2(0-
2
)，
設P0（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）
則
PF1
=(-x0，
2
-y0)，
PF2
=(-x0，-
2
-y0)（2分）
∴
PF1
•
PF2
=
x20
-(2-
y20
)=1，
∵點P（x0，y0）在曲線上，則
x20
2
+
y20
4
=1，
∴
x20
=
4-
y20
2
，從而
4-
y20
2
-(2-
y20
)=1，得y0=
2
．
則點P的坐標為(1，
2
)．（5分）
（2）證明：由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設PB的斜率為k（k＞0），（6分）
則BP的直線方程為：y-
2
=k(x-1)．
由
y-
2
=k(x-1)
x2
2
+
y2
4
=1
得(2+k2)x2+2k(
2
-k)x+(
2
-k)2-4=0，
設B（xB，yB），則1+xB=
2k(k-
2
)
2+k2
，xB=
2k(k-
2
)
2+k2
-1=
k2-2
2
k-2
2+k2
，
同理可得xA=
k2+2
2
k-2
2+k2
，則xA-xB=
4
2
k
2+k2
，yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)=
8k
2+k2
．（9分）
所以AB的斜率kAB=
yA-yB
xA-xB
=
2
為定值．（10分）
（3）設AB的直線方程：y=
2
x+m．
由
y=
2
x+m
x2
2
+
y2
4
=1
，得4x2+2
2
mx+m2-4=0，
由△=(2
2
m)2-16(m2-4)＞0，得-2
2
＜m＜2
2

P到AB的距離為d=
|m|
3
，（12分）
則S△PAB=
1
2
|AB|•d=
1
2
(4-
1
2
m2)•3
•
|m|
3
=
1
8
m2(-m2+8)
≤
1
8
(
m2-m2+8
2
)2
=
2
．
當且僅當m=±2∈(-2
2
，2
2
)取等號
∴△PAB面積的最大值為
2
．（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

一動圓過定點P（0，1），且與定直線l：y=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡上兩動點記為A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16．
①求證：直線AB過一定點，并求該定點坐標；
②求|PA|+|PB|的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

直線l過x軸上的點M，l交橢圓
x2
8
+
y2
4
=1于A，B兩點，O是坐標原點．
（1）若M的坐標為（2，0），當OA⊥OB時，求直線l的方程；
（2）若M的坐標為（1，0），設直線l的斜率為k（k≠0），是否存直線l，使得l垂直平分橢圓的一條弦？如果存在，求k的取值范圍；如果不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

若直線y=kx+2與曲線y=
x2-1
，|x|＞1
1-x2
，|x|≤1
恰有兩個不同的交點，則k∈______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C1：
x2
4
+y2=1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．
（1）求橢圓C2的方程；
（2）設O為坐標原點，點A，B分別在橢圓C1和C2上，
OB
=2
OA
，求直線AB的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A1、A2，直線A1A2恰好經過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點Q、R，求證
OQ
•
OR
為定值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

將曲線C1：(x-4)2+y2=4所有點的橫坐標不變，縱坐標變為原來的
1
2
得到曲線C2，將曲線C2向左（x軸負方向）平移4個單位，得到曲線C3．
（Ⅰ）求曲線C3的方程；
（Ⅱ）垂直于x軸的直線l與曲線C3相交于C、D兩點（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直線AC、BD相交于點P，求P點的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點，且過點P（4，
3
）的雙曲線C2的標準方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點．當
OA
•
OB
=3時，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經過點M（3
2
，
2
），橢圓的離心率e=
2
2
3
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點M作兩直線與橢圓C分別交于相異兩點A、B．若∠AMB的平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請給予證明；若不是，請說明理由．

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同步練習冊答案