Question

某地位于沙漠邊緣地區，人與自然進行長期頑強的斗爭，到1999年底全地區的綠化率已達到30％，從2000年開始，每年將出現以下的變化：原有沙漠面積的16％將栽上樹，改造為綠洲，同時，原有綠洲面積的4％又被侵蝕，變為沙漠．

(1)設全區總面積為1，1999年年底綠洲面積為，經過1年(指2000年底)綠洲面積為，經過n年綠洲面積為，求證：數列是等比數列．

(2)至少經過多少年的努力才能使全地區的綠洲面積超過60％(年取整數)？

Answer 1

答案：略
解析：

解：(1)∵1999年年底綠洲面積為，∴1999年年底沙漠面積為．經過n－1年后綠洲面積是，沙漠面積是．再經過1年，原有面積的沙漠有16％栽上了樹，改造成了綠洲，同時原有面積的綠洲有4％又被侵蝕，變成了沙漠．因此以過n年后綠洲的面積 ∴．且，∴數列是以為首項，為公比的等比數列． (2)由(1)知是等比數列，且首項為，公比， 故，，∴， 設經過n年的努力能使全地區的綠洲面積超過60％．則有，∴，∴，當n=1，2，3，4時，，而當n=5時，．答：至少經過5年的努力才能使全地區的綠洲面積超過60％．