Question

已知水渠在過水斷面面積為定值的情況下，過水濕周越小，其流量越大．現有以下兩種設計，如圖甲、圖乙．圖甲的過水斷面為等腰△ABC，AB=BC，過水濕周l₁=AB+BC 圖乙的過水斷面為等腰梯形ABCD，AB=CD，AD∥BC，∠BAD=60°，過水濕周l₂=AB+BC+CD，若△ABC與梯形ABCD的面積都是S．

（1）分別求l₁和l₂的最小值；
（2）為使流量最大，給出最佳設計方案．

Answer 1

分析：（1）在圖甲中，設∠ABC=θ，AB=BC=a，則S=

1

2

a²sinθ，可解得l₁=2a≥2

2S

；在圖乙中，設AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n，
由S=

1

2

（n+m+n）•

3

2

m，解得n=

2S

3m

-

m

2

，代入其面積表達式，應用基本不等式即可求得l₂≥2

4	3

•

S

；
（2）由（1）可得l_1min=2

2S

，l_2min=2

4	3

S

，比較

2

與

4	3

的大小即可．

解答：解：（1）在圖甲中，設∠ABC=θ，AB=BC=a，則S=

1

2

a²sinθ，
∵S，a，sinθ均為正值，
∴a=

2S sinθ

≥

2S

．
當且僅當sinθ=1，即θ=90°時取等號，
∴l₁=2a≥2

2S

；
在圖乙中，設AB=CD=m，BC=n，由∠BAD=60°，可求得：AD=m+n（m＞0，n＞0）．
由S=

1

2

（n+m+n）•

3

2

m，解得n=

2S

3m

-

m

2

，
∴l₂=2m+n=2m+

2S

3m

-

m

2

=

2S

3m

+

3

2

m≥2

3 S

=2

4	3

•

S

，當且僅當

2S

3m

=

3

2

m，即m=

4S 3 3

時取“=“；
（2）由于

2

=

4	4

＞

4	3

，則l₂的最小值小于l₁的最小值，
故在方案②中當l₂取得最小值時的設計方案為最佳方案．

點評：本題基本不等式在最值問題中的應用，著重考查基本不等式，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．