Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分別為A₁C₁和BC的中點．
（1）求證：EF∥平面AA₁B₁B
（2）若AA1=3，AB=2

3

，求直線EF與平面ABC的角．

Answer 1

分析：（1）取A₁B₁的中點D，連接DE、BD．利用三角形中位線定理，我們可以得到四邊形BDEF為平行四邊形，進而得到BD∥EF，結合線面平行的判定定理，即可得到答案．
（2）取AC的中點H，連接HF．由直三棱柱幾何特征，我們可得∠EFH即為直線EF與平面ABC所成的角，解△EFH即可得到答案．

解答：證明：（1）取A₁B₁的中點D，連接DE、BD．

∵E是A1C1的中點∴DE ∥ . . 1 2 B1C1 又BC ∥ . . B1C1，BF= 1 2 BC ∴DE ∥ . . BF 則四邊形BDEF為平行四邊形 ∴BD∥EF 又BD?平面AA1B1B，EF?平面AA1B1B ∴EF∥平面AA1B1B

（2）取AC的中點H，連接HF．

∵EH∥AA1，AA1⊥平面ABC ∴EH⊥平面ABC，∠EFH就是EF與平面ABC所成的角 在直角三角形EHF中，FH= 3 ，EH=AA1=3 ∴∠EFH=60° 故EF與平面ABC所成的角為60°

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，直線與平面所成的角，熟練掌握空間直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直及平行的判定定理、性質定理、定義、幾何特征是解答此類問題 的關鍵．