Question

已知復數z₁滿足：|z₁|=1+3i-z₁．復數z₂滿足：z₂•（1-i）+（3-2i）=4+i．
（1）求復數z₁，z₂；
（2）在復平面內，O為坐標原點，記復數z₁，z₂對應的點分別為A，B．求△OAB的面積．

Answer 1

分析：（1）設z₁=x+yi（x，y∈R），由|z₁|=1+3i-z₁，得

x2+y2

=1+3i-(x+yi)=1-x+（3-y）i，根據復數相等即可得出；而z₂•（1-i）=1+3i，可化為z2=

1+3i

1-i

，再利用復數的運算法則即可得出；
（2）由（1）知，

OA

=(-4，3)，

OB

=(-1，2)，利用復數模的計算公式即可得出；再利用

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB，即可得出cos∠AOB，再利用平方關系即可得出sin∠AOB．再利用三角形面積計算公式即可．

解答：解：（1）設z₁=x+yi（x，y∈R），
由|z₁|=1+3i-z₁，得

x2+y2

=1+3i-(x+yi)=1-x+（3-y）i，
∴

1-x= x2+y2 3-y=0

，解得

x=-4 y=3

．
∴z₁=-4+3i．
而z₂•（1-i）=1+3i，
∴z2=

1+3i

1-i

=

(1+3i)(1+i)

(1-i)(1+i)

=

-2+4i

2

=-1+2i，
（2）由（1）知，

OA

=(-4，3)，

OB

=(-1，2)，∴|

OA|

=

(-4)2+32

=5，|

OB

|=

(-1)2+22

=

5

．
由

OA

•

OB

=|

OA

| |

OB

|cos∠AOB，得（-4）×（-1）+3×2=5

5

cos∠AOB，
解得cos∠AOB=

2

5

，∴sin∠AOB=

1

5

．
∴△OAB的面積S=

1

2

×5×

5

×

1

5

=

5

2

．

點評：熟練掌握復數的運算法則、復數相等、數量積運算、三角形的面積計算公式等是解題的關鍵．