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如圖，在三棱錐S-ABC中，底面ABC是邊長為4的正三角形，側面SAC⊥底面ABC，SA=SC=2
3
，M，N分別為AB，SB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥SB；
（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小的正切值．
（Ⅰ）取AC的中點0，連結OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO，AC⊥OB．
又∵平面SAC⊥平面ABC，且平面SAC∩ABC=AC，
∴SO⊥平面ABC．
以OA、OB、OS為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示
可得A（2，0，0），B（0，2
3
，0），C（-2，0，0），S（0，0，2
2
），
M（1，
3
，0），N（0，
3
，
2
）．
∴
AC
=（-4，0，0），
SB
=（0，2
3
，-2
2
）．
∴
AC
•
SB
=-4×0+0×2
3
+0×（-2
2
）=0，
可得
AC
⊥
SB
，即AC⊥SB；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
CM
=（3，
3
，0），
MN
=（-1，0，
2
）
設
n
=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，
CM
•
n
=3x+
3
y=0
MN
•
n
=-x+
2
z=0
，
取z=1，得x=
2
，y=-
6
，所以
n
=（
2
，-
6
，1）．
又∵
OS
=（0，0，2
2
）為平面ABC的一個法向量，
∴cos＜
n
，
OS
＞=
n
•
OS
|n|
•
|OS|
=
2
2
2+6+1
•2
2
=
1
3
，
可得sin＜
n
，
OS
＞=
1-(
1
3
)2
=
2
2
3
，tan＜
n
，
OS
＞=2
2
，
即二面角二面角N-CM-B的正切值為2
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB．點E在棱PA上，．
（1）求異面直線PA與CD所成的角；
（2）點E在棱PA上，且
PE
=λ
EA
，當λ為何值時，有PC∥平面EBD；
（3）在（2）的條件下求二面角A-BE-D的平面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分別是AB，PC的中點.
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求證：MN⊥平面PCD.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

一條線段AB的兩端點A，B和平面α的距離分別是30cm和50cm，P為線段AB上一點，且PA：PB=3：7，則P到平面α的距離為（　　）
A．36cmB．6cmC．36cm或6cmD．以上都不對

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC，且∠CPB=30°，則∠PCB=______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐S-ABCD的正視圖是邊長為2的正方形，側視圖和俯視圖是全等的等腰三角形，直線邊長為2．
（1）求二面角C-SB-A的大小；
（2）P為棱SB上的點，當SP的長為何值時，CP⊥SA？

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BC1與平面BB1D1D所成的角是（　　）
A．90°B．60°C．45°D．30°

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A1A，∠BAA1=60°
（1）證明：AB⊥A1C；
（2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AB=CB，求直線A1C與平面BB1C1C所成角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知平行四邊形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=a（a＞0）
（Ⅰ）求證：AC⊥BF；
（Ⅱ）若二面角F-BD-A的大小為60°，求a的值．

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