Question

已知函數f（x）=lnx，若g（x）=f（x）+

2

x

+x-2-b（b∈R）．
（1）求曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）若函數g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍；
（3）當0＜m＜n時，求證：f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

．

Answer 1

分析：（1）切線斜率為f′（1），f（1）=0，由點斜式可求切線方程；
（2）表示出g（x），求得g′（x），利用導數可求得函數的極小值為g（1），由函數g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，可得

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，解出不等式組即可；
（3）要證f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

，可轉化為證明ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，構造函數h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），利用導數可判斷函數h（x）的單調性，根據單調性可作出作出大小比較；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

，則切線斜率k=f′（1）=1，f（1）=0，
所以曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=x-1；
（2）g（x）=lnx+

2

x

+x-2-b，（x＞0），
g′(x)=

1

x

-

2

x2

+1=

x2+x-2

x2

，
由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，
所以g（x）的單調遞增區(qū)間是（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1），
當x=1時，g（x）取得極小值g（1），
因為函數g（x）在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個零點，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，即解得1＜b≤

2

e

+e-1，
所以b的取值范圍是（1，

2

e

+e-1]；
證明：（3）當0＜m＜n時，要證f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

，即證ln（m+n）-ln2n＜

m-n

2n

，即證ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，
構造函數h（x）=lnx-x-1，x∈（0，1），
當x∈（0，1）時，h′（x）=

1

x

-1＞0，
所以函數h（x）在（0，1）上遞增，
又0＜

m+n

2n

＜1，所以h（

m+n

2n

）＜h（1），即ln

m+n

2n

＜

m+n

2n

-1，
所以f（m+n）-f（2n）＜

m-n

2n

．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值、單調性、函數的零點，考查轉化思想，（3）問中對不等式作等價變形后構造函數是解決問題的關鍵，應注意歸納總結．