Question

已知橢圓G與雙曲線12x²－4y²＝3有相同的焦點，且過點P(1，)．

(1)求橢圓G的方程；

(2)設F₁、F₂是橢圓G的左焦點和右焦點，過F₂的直線l：x＝my＋1與橢圓G相交于A、B兩點，請問△ABF₁的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)雙曲線的焦點坐標為，所以橢圓的焦點坐標為　1分 　　設橢圓的長軸長為，則，即， 　　又，所以 　　∴橢圓G的方程　5分 　　(2)如圖，設內切圓M的半徑為，與直線的切點為C，則三角形的面積等于的面積＋的面積＋的面積． 　　即 　　當最大時，也最大，內切圓的面積也最大，　7分 　　設、()，則， 　　由，得，　9分 　　解得，， 　　∴，令，則，且， 　　有，令，則，　11分 　　當時，，在上單調遞增，有，， 　　即當，時，有最大值，得，這時所求內切圓的面積為，　12分 　　∴存在直線，的內切圓M的面積最大值為．　13分