Question

如果函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0且a≠1）在［-1，1］上的最大值為14，求a的值．

Answer 1

解析：令a^x=t，則y=t²+2t-1，這是t的二次函數，再x∈［-1，1］，求出t的范圍，求出這個二次函數有最大值；令其等于14得a的方程，求解之.

解：令a^x=t，則y=t²+2t-1=（t+1）²-2，其對稱軸t=-1，二次函數在［-1，+∞）上單調遞增，又a^x=t，且x∈［-1，1］，∴t=a^x∈［a^-1，a］（a＞1）或t∈［a，a^-1］(0＜a＜1).

當a＞1時，取t=a，即x=1時，y_max=a²+2a-1=14，解得a=3或a=-5（舍去）；當0＜a＜1時，取t=a^-1，即x=-1時，y_max=a^-2+2a^-1-1=14，解得a=或a=-（舍去）.綜之，a=3或a=.