Question

設 A、B、C是直線l上的三點，向量滿足關系：=．
（Ⅰ）化簡函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數，的圖象與直線y=b的交點的橫坐標成等差數列，試求實數b的值；
（Ⅲ）令函數h（x）=（sinx+cosx）+sin2x-a，若對任意的，不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）原向量式變形由A、B、C三點共線可得，由三角函數的知識化簡可得；（Ⅱ）可得函數g（x）的解析式，設交點的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，由對稱性可得，可得g（x₂）=，可得b值；（Ⅲ）只需要h（x）_max≤f（x）_min即可，分別求其最值可得關于a的不等式，解之可得．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得
∵A、B、C三點共線，∴----------------------------------------，（2分）
則=
∴--------------------------------（4分）
（Ⅱ）可得函數=-----（5分）
設函數g（x）的圖象與直線y=b的交點的橫坐標分別為x₁，x₂，x₃，且，
由已知，有x₁+x₃=2x₂，另一方面，結合圖象的對稱性有--------------------（7分）
∴x₁=2π-x₂，x₃=4π-x₂，代入x₁+x₃=2x₂，解得------------（8分）
再代入g（x）=cosx，得g（x₂）=，所以b=0------------------（9分）
（Ⅲ）不等式h（x₁）≤f（x₂）恒成立，只需要h（x）_max≤f（x）_min即可------------（10分）
令，則t²=1+2sinxcosx=1+sin2x，∴sin2x=t²-1
又，，則
函數h（x）轉化為，，
當時，函數取得最大值h（x）_max=3-a-----------------------------------（12分）
又在上的最小值為------------------（13分）
由h（x）_max≤f（x）_min得即，
故實數a的取值范圍是--------14分
點評：本題考查等差數列和向量知識的綜合應用，涉及三角函數的圖象，屬中檔題．