Question

設實數x，y滿足條件

3x+y-5≤0 x+2y-5≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數z=ax+y僅在點P（1，2）處取得最大值，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：作出不等式對應的平面區域，利用線性規劃的知識，確定目標取最優解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答：解：作出不等式對應的平面區域，
由z=ax+y得y=-ax+z，
要使目標函數z=ax+y僅在點P（1，2）處取得最大值，
則陰影部分區域在直線y=-ax+z的下方，
∴-a＜0，
即a＞0，且目標函數處在直線3x+y-5=0和x+2y-5=0之間，
即目標函數的斜率k，滿足-3＜-a＜-

1

2

，
即

1

2

＜a＜3，
故答案為：

1

2

＜a＜3．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法．根據條件目標函數z=ax+y僅在點P（1，2）處取得最大值，確定直線的位置是解決本題的關鍵．