Question

設函數fn(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…+(-1)n

xn

n

，n∈N*．
（Ⅰ）試確定f₃（x）和f₄（x）的單調區間及相應區間上的單調性；
（Ⅱ）說明方程f₄（x）=0是否有解，并且對正整數n，給出關于x的方程f_n（x）=0的解的一個一般結論，并加以證明．

Answer 1

分析：（I）寫出要用的兩個函數的解析式，對兩個函數求道，寫出兩個函數的單調區間，第一個函數在整個定義域上是一個減函數，第二個函數有增有減．
（II）根據上一問作出函數的最小值，猜想證明函數在即偶性不同時，函數對應的方程的解的情況

解答：解：（Ⅰ）f3(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

，
f₃^′（x）=-1+x-x²=-（x²-x+1）＜0，
y=f₃（x）為R上的減函數（1分）
f3(x)=1-x+

x2

2

-

x3

3

+

x4

4

，
f₄^′（x）=-1+x-x²+x³=（x-1）（x²+1）

x	（-∞，1）	（1，+∞）
f4′（x）	-	+
f4（x）	減	增

y=f₄（x）在（-∞，1）上減，在（1，+∞）上增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f4(x)min=f4(1)=1-1+

1

2

-

1

3

+

1

4

=

5

12

＞0，
所以f₄（x）=0無解（6分）
猜想n為偶數時，f_n（x）=0無解（8分）
證明：當n為偶數時，設n=2k（k∈N^*）則f_n^′（x）=-1+x-x²+x³-x⁴++（-1）ⁿx^n-1=（x-1）（1+x²+x⁴++x^2k-2）
在（-∞，1）上減，在（1，+∞）上增，
fn(x)min=fn(1)=1-1+

1

2

-

1

3

++(-1)2k(

1

2k

)=(

1

2

-

1

3

)+(

1

4

-

1

5

)++(

1

2k-2

-

1

2k-1

)+

1

2k

＞

1

2k

＞0
所以n為偶數時f_n（x）=0無解．
猜想n為奇數時，f_n（x）=0有唯一解
證明：設n=2k+1（k∈N^*）
fn′(x)=-1+x-x2+x3-x4++(-1)nxn-1=

-1×[1-(-x)n]

1-(-x)

=-

1+x2k+1

1+x

＜0；
所以y=f_n（x）為減函數，
而f（1）＞0，f(n)=(1-n)+n2(

1

2

-

n

3

)++nn-1(

1

n-1

-

n

n

)＜0，
所以方程有唯一解．

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的最值，本題解題的關鍵是應用函數的導函數求解，注意函數和方程之間的關系．