Question

如圖，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，其下底AB是⊙O的直徑，上底CD的端點在圓周上，梯形周長y是否是腰長x的函數？如果是，寫出函數關系式，并求出定義域.

Answer 1

思路分析：判定兩個變量是否構成函數，關鍵看兩個變量之間的對應關系是否滿足函數定義.該題中的每一個腰長都能對應唯一的周長值，因此周長y是腰長x的函數.若要用腰長表示周長的關系式，應知等腰梯形各邊長，下底長已知為2R，兩腰長為2x,因此只需用已知量(半徑R)和腰長x把上底表示出來，即可寫出周長與腰長的函數關系式.

解：由題意可知，每一個腰長x都能對應唯一的周長值y，因此周長y是腰長x的函數.

如下圖，

AB=2R，C、D在⊙O的半圓周上，設腰長AD=BC=x,作DE⊥AE，垂足為E，連結BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.

    ∴AD²=AE·AB,即AE=.

    ∴CD=AB-2AE=2R-.

    ∴周長y滿足關系式

    y=2R+2x+(2R-)=-+2x+4R，

    即周長y和腰長x間的函數關系式y=-+2x+4R.

    ∵ABCD是圓內接梯形，∴AD＞0，AE＞0，CD＞0，即解不等式組，得函數y的定義域為{x|0＜x＜R}.