Question

已知a＞0，且a≠1，設p：函數y=log_a（x+1）在x∈（0，+∞）內單調遞減；q：函數y=x²+（2a-3）x+1有兩個不同零點，如果p和q有且只有一個正確，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：先由對數函數的單調性求出命題p成立時a的取值范圍，再由二次函數的判別式求出命題q成立時a的取值范圍，再求出p真q假和p假q真時a的取值范圍，最后取并集即可．

解答：解：由題意易知：p：0＜a＜1，q：（2a-3）²-4＞0，即a＞

5

2

，或a＜

1

2

．
又因為p和q有且只有一個正確，
所以若p真q假，即

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，得

1

2

≤a＜1；（4分）
若p假q真，即

a≥1，或a≤0 a＜ 1 2 ，或a＞ 5 2

，得a≤0，或a＞

5

2

．（7分）
綜上可得a的取值范圍是a≤0，

1

2

≤a＜1，或a＞

5

2

．（8分）

點評：本題考查了對數函數的單調性、二次函數根的判定及否命題的知識．