Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，，，．

⑴求證：；
(2)設點在棱上，，若∥平面，求的值.

Answer 1

(1)證明略；（2）。

試題分析：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC內，∴BD⊥PC。
（2）在底面ABCD內過D作直線DF∥AB，交BC于F，
分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立如圖空間坐標系，
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）C、（-3，，0），
=（-3，，-a），=（-3λ，λ，-aλ），
=（0，0，a）+（-3λ，λ，-aλ）=（-3λ，λ，a-aλ）,
=（0，，0），=（1，0，-a），
設=（x，y，z）為面PAB的法向量，由·=0，
得y=0，由·=0，得x-az=0，取x=a，z=1，
=（a，0，1），
由DE∥面PAB得：⊥
，∴·=0，-3aλ+a-aλ=0，∴λ=。
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，（2）利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。對計算能力要求較高。