Question

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，底面是邊長為1的正方形，E、F分別是棱B1B、DA的中點．

(1)求二面角D1-AE-C的大小；

(2)求證：直線BF∥平面AD1E.

 

Answer 1

（1）90°（2）見解析

【解析】(1)【解析】
以D為坐標原點，DA、DC、DD1分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系如圖．

則相應點的坐標分別為D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，∴＝(0，0，2)－(1，1，1)＝(－1，－1，1)，

＝(1，1，1)－(1，0，0)＝(0，1，1)，

＝(0，1，0)－(1，0，0)＝(－1，1，0)．

設平面AED1、平面AEC的法向量分別為m＝(a，b，1)，n＝(c，d，1)．

由

由

∴m＝(2，－1，1)，n＝(－1，－1，1)，∴cosm，n=＝＝0，

∴二面角D1AEC的大小為90°.

(2)證明：取DD1的中點G，連結GB、GF.

∵E、F分別是棱BB1、AD的中點，

∴GF∥AD1，BE∥D1G且BE＝D1G，

∴四邊形BED1G為平行四邊形，∴D1E∥BG.

又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF?平面AD1E，

∴BG∥平面AD1E，GF∥平面AD1E.

∵GF、GB平面BGF，∴平面BGF∥平面AD1E.

∵BF?平面AD1E，∴直線BF∥平面AD1E.

(或者：建立空間直角坐標系，用空間向量來證明直線BF∥平面AD1E，亦可)