Question

已知函數f(x)=log4x，x∈[

1

16

，4]的值域為集合A，關于x的不等式(

1

2

)3x+a＞2x(a∈R)的解集為B，集合C={x|

5-x

x+1

≥0}，集合D={x|m+1≤x＜2m-1}（m＞0）
（1）若A∪B=B，求實數a的取值范圍；
（2）若D⊆C，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用對數函數的單調性求對數函數的值域A，解指數不等式求出B，再根據A⊆B可得-

a

4

＞1，由此求得實數a的取值范圍．
（2）解分式不等式

5-x

x+1

≥0求得C，對于集合D={x|m+1≤x＜2m-1}（m＞0），由D⊆C，分D=∅和 D≠∅兩種情況，分別求出實m的取值范圍，再取并集，即得所求．

解答：解：（1）因為f（x）在[

1

16

，4]上，單調遞增，
∵f（

1

16

 ）=log4

1

16

=-2，f（4）=log₄4=1，
所以，A=[-2 1]．--------------（2分）
又由關于x的不等式(

1

2

)3x+a＞2x(a∈R) 可得 （2）^-3x-a＞2^x，-3x-a＞x  x＜-

a

4

，
所以，B=（-∞，-

a

4

）．-----（4分）
又A∪B=B，∴A⊆B．--------（5分）
所以，-

a

4

＞1，a＜-4，即實數a的取值范圍為（-∞，-4）．-------（6分）
（2）因為

5-x

x+1

≥0，所以有

x-5

x+1

 ≤0，所以-1＜x≤5，所以，C=（-1，5]，---------（8分）
對于集合D={x|m+1≤x＜2m-1}（m＞0），若D⊆C，有：
①當 m+1≥2m-1時，即 0＜m≤2時，D=∅，滿足 D⊆C．-----------（10分）
②當  m+1＜2m-1 時，即 m＞2時，D≠∅，所以有：

m+1＞-1 2m-1≤5

，解得-2＜m≤3，又 m＞2，2＜m≤3．---------（13分）
綜上：由①②可得：實m的取值范圍為（0，3]．---------（14分）

點評：本題主要考查利用對數函數的單調性求值域，指數不等式、分式不等式的解法，集合間的包含關系，屬于中檔題．