Question

直角坐標平面中，過點A₁（1，0）作函數f（x）=x²（x＞0）的切線l₁，其切點為B₁（x₁，y₁）；過點A₂（x₁，0）作函數g（x）=e^x（x＞0）的切線l₂，其切點為B₂（x₂，y₂）；過點A₃（x₂，0）作函數f（x）=x²（x＞0）的切線l₃，其切點為B₃（x₃，y₃）；如此下去，即過點A_2k-2（x_2k-2，0）作函數f（x）=x²（x＞0）的切線l_2k-1，其切點為B_2k-1（x_2k-1，y_2k-1）；過點A_2k-1（x_2k-1，0）作函數g（x）=e^x（x＞0）的切線l_2k，其切點為B_2k（x_2k，y_2k）；…．
（1）求x_2k-2與x_2k-1及x_2k-1與x_2k的關系；
（2）求數列{x_n}通項公式x_n；
（3）是否存在實數t，使得對于任意的自然數n，不等式

1

x2+1

+

2

x4+1

+

3

x6+1

+…+

n

x2n+1

+1≤t-

6

t

恒成立？若存在，求出這樣的實數t的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）可利用導數幾何意義求出以B_2k-1（x_2k-1，y_2k-1）為切點的切線l_2k-1的方程，又因為切線l_2k-1過點A_2k-2（x_2k-2，0），代入可得x_2k-2與x_2k-1的關系；同理可得x_2k-1與x_2k的關系；
（2）由（1）的遞推關系可得x_2k=2x_2k-2+1，用構造新數列法，可知數列{x_2k+1}為等比數列，從而求得此數列的通項公式，進而求得{x_2k}的通項公式，再利用x_2k-2與x_2k-1的關系，求出數列{x_2k-1}的通項公式，最后寫出數列
{x_n}通項公式即可
（3）利用錯位相減法將S_n=

1

x2+1

+

2

x4+1

+

3

x6+1

+…+

n

x2n+1

+1求和，再利用S_n+1-S_n＞0證明其為遞增數列，所以將S_n的最大值是

lim

n→∞

S_n，利用數列極限的求法可求出此值，再使t-

6

t

不小于這個極限值，解不等式得t的取值范圍

解答：解：（1）∵f′（x）=2x，
∴切線l_2k-1的方程為y-x_2k-1²=2x_2k-1（x-x_2k-1），又切線l_2k-1過點A_2k-2（x_2k-2，0），
∴0-x_2k-1²=2x_2k-1（x_2k-2-x_2k-1），且x_2k-1＞0，
∴x_2k-1=2x_2k-2．
∴x₁=2．
又∵g′（x）=（e^x）′=e^x，
∴切線l_2k的方程為y-ex2k=ex2k（x-x_2k），而切線l_2k過點A_2k-1（x_2k-1，0），
∴0-ex2k=ex2k（x_2k-1-x_2k），且x_2k＞0，
∴x_2k=x_2k-1+1．
∴x₂=x₁+1=3．
故x_2k-2與x_2k-1的關系為x_2k-1=2x_2k-2；  x_2k-1與x_2k的關系為x_2k=x_2k-1+1．
（2）由（1）可知x_2k=x_2k-1+1=2x_2k-2+1，即x_2k+1=2（x_2k-2+1），
∴數列{x_2k+1}為等比數列，且首項為4，
∴x_2k+1=4×2^k-1，即x_2k=2^k+1-1．
而x_2k-1=2x_2k-2=2（2^k-1）=2^k+1-2，故數列{x_n}通項公式為x_n=

2 n+3 2 -2(n為奇數) 2 n+2 2 (n為偶數).

（3）（理）令S_n=

1

x2+1

+

2

x4+1

+

3

x6+1

+…+

n

x2n+1

+1=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，
∴

1

2

S_n=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

，
兩式相減得

1

2

S_n=

1

22

+

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+1

-

n

2n+2

=

1 4 [1-2 1 n ]

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

（1-

1

2n

）-

n

2n+2

，
∴S_n=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

．
∴S_n+1-S_n=（1-

n+3

2n+2

）-（1-

n+2

2n+1

）=

n+1

2n+2

＞0，
∴數列{S_n}遞增．
又當n≥6時，2ⁿ⁺¹=2（1+1）ⁿ=2（1+C_n¹+C_n²+C_n¹+CC_n³+…+C_n^n-3+C_n^n-2+C_n^n-1+C_nⁿ）＞4（1+C_n¹+C_n²）＞2（n²+n），
∴0＜

n+1

2n+1

＜

n+2

2(n2+n)

，而

lim

n→∞

n+2

2(n2+n)

=0，
∴

lim

n→∞

S_n=1．
∴對于任意的自然數n不等式恒成立等價于t-

6

t

≥1，
∴t[-2，0）∪[3，+∞）

點評：本題綜合考查了利用遞推公式求通項公式，錯位相減求和，數列最值的求法，特別是與函數的結合，使本題的綜合性提高，解決本題需要扎實的基本功．