Question

設函數f（x）的定義域為A，若存在非零實數l使得對于任意x∈I（I⊆A），有x+l∈A，且f（x+l）≥f（x），則稱f（x）為I上的l高調函數，如果定義域為R的函數f（x）是奇函數，當x≥0時，f（x）=|x-a²|-a²，且函數f（x）為R上的1高調函數，那么實數a的取值范圍為（　　）

• A．0＜a＜1
• B．-

  1

  2

  ≤a≤

  1

  2

• C．-1≤a≤1
• D．-2≤a≤2

Answer 1

分析：據分段函數的意義，對f（x）的解析式分段討論，可得其分段的解析式，結合其奇偶性，可得其函數的圖象；進而根據題意中高調函數的定義，可得若f（x）為R上的1高調函數，則對任意x，有f（x+1）≥f（x），結合圖象分析可得1≥4a²；解可得答案．

解答：解：定義域為R的函數f（x）是奇函數，
當x≥0時，
f（x）=|x-a²|-a²=

x-2a2，x≥a2 -x，0≤x＜a2

圖象如圖，
∵f（x）為R上的1高調函數，當x＜0時，函數的最大值為a²，要滿足f（x+l）≥f（x），
1大于等于區間長度3a²-（-a²），
∴1≥3a²-（-a²），
∴-

1

2

≤a≤

1

2

故選B

點評：考查學生的閱讀能力，應用知識分析解決問題的能力，考查數形結合的能力，用圖解決問題的能力，屬中檔題．