Question

(理)已知A、B、C是直線l上的三點，向量滿足：-[y+2f′(1)]+ln(x+1) =0，函數g(x)=+af(x)．

(1)求函數y=f(x)的表達式；

(2)若g(x)在點(3，g(3))處的切線與直線7x-18y+3=0平行，求函數g(x)的極值；

(3)若函數g(x)在(0，2)上單調遞減，求實數a的取值范圍．

(文)已知A、B、C是直線l上的三點，且滿足：-(y+ax²)+(x3+3x)=0．

(1)若f(x)在點(1，f(3))處的切線與直線2x+y+3=0平行，求函數y=f(x)的極值；

(2)若函數y=f(x)在(-2，)上單調遞減，求實數口的取值范圍．

Answer 1

答案：(理)(1)∵-[y+2f′(1)]+ln(x+1)=0，

∴=[y+2f′(1)]-ln(x+1)

由于A、B、C三點共線，即[y+2f′(1)]+[-ln(x+1)]=1

∴y=f(x)=ln(x+1)+1-2f′(1)

f′(x)=，得f′(1)=，故f(x)=ln(x+1)．

(2)∵g(x)=+aln(x+1)，

∴g′(x)=,

又x∈(-1，0)∪(0，+∞)

由g′(3)=，解得a=2

則g′(x)=

由g′(x)＞0解得-1＜x＜或x＞1，由g′(x)＜0

解得＜x＜1

則g(x)的增區間是(-1，)，(1，+∞)

g(x)的減區間是(，0)，(0，1)

故g極大值(x)=g()=-2-ln2，

g極小值(x)=g(1)=1+21n2．

(3)由g′(x)=＜0，得ax²-x-1＜0，即a＜在(0，2)上恒成立，

令u=,

則u在t=∈(，+∞)上單調遞增，

∴u的最小值趨向于()²，但取不到此值

∴a≤．

(文)∵-(y+ax²)+(x³+3x)=0，

∴=(y+ax²)-(x³+3x)

由于A、B、C三點共線，得y+ax2-x3=1，即y=x³-ax²+3x+1．

(1)∵f′(x)=3x²-2ax+3，則f′(1)=3x²-2ax+3=3-2a+3=-2，得a=4，

∴f′(x)=3x²-8x+3=3(x-3)(x)，

由f′(x)＞0解得x＜或x＞3；

由f′(x)＜0解得＜x＜3．

則f(x)的增區間是(-∞，)，(3，+∞)；減區間是(，3)

故f_極大值(x)=f()=，f_極小值(x)=f(3)=1．

(2)∵f′(x)=3x²-2ax+3，

又f(x)在(-2，)上單調遞減，

∴f′(x)=3x²-2ax+3＜0在(-2，)上恒成立f′(x)_max＜0．

又∵f′(x)是開口向上的拋物線，

∴只要，即,

解得a≤.