Question

(本小題滿分12分) 已知函數（m為常數，且m>0）有極大值9．

  （Ⅰ）求m的值；

  （Ⅱ）若斜率為的直線是曲線的切線，求此直線方程．

 

Answer 1

【答案】

m＝2. ，5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0

【解析】解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m．    …………2分

      當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞,－m)	－m	(－m,)		(,+∞)
f’(x)	+	0	－	0	+
f (x)		極大值		極小值

從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,                                     …………6分

 ∴ m＝2.                                                    …………7分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,  依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，

∴x＝－1或x＝－.                                           …………9分

又f(－1)＝6，f(－)＝，                                   …………10分

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即所求的直線方程為： 5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0 .       …………12分