Question

（本題滿分12分）已知函數，
其中（且 
⑴求函數的定義域；
⑵判斷函數的奇偶性，并予以證明；     
⑶判斷它在區間（0,1）上的單調性并說明理由。

Answer 1

⑴ ；⑵
⑶區間（0,1）上為單調遞增函數。

(1)函數f(x)+g(x)的定義域應該是f(x),g(x)定義域的交集即,
，所以，即所求函數的定義域為(-1,1).
(2)由（1）知其定義域關于原點對稱，并且根據對數的運算性質可得,
然后再根據奇偶函數的定義判斷出H(-x)=-H(x),從而可知為奇函數。
(3)利用單調性的定義第一步取值：任取且；
第二步：作差變形判斷的符號，再判斷時要利用對數函數的性質，
第三步：得出結論。
⑴ 由題意得：
所以所求定義域為
⑵ 令
則


⑶，
任取且，則，
則
，，
在區間（0,1）上為單調遞增函數。