Question

如圖所示為函數f（x）=2cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）的部分圖象，其中|

AB

|=5（A、B分別為函數圖象上的最高點、最低點），f（0）=1那么直線AB與函數f（x）的圖象圍成的封閉圖形的面積為（　　）

• A．0
• B．

  12

  π

  -3
• C．

  12

  π

  +3
• D．以上都不對

Answer 1

分析：先確定函數的周期，由圖可知|

AB

|=5，AB間的縱向距離為4，故可由勾股定理計算AB間的橫向距離，即半個周期，進而得ω值，再利用函數圖象過點（0，1），且此點在減區間上，代入函數解析式即可計算φ值．然后利用定積分求出區域面積．

解答：解：由圖可知函數的振幅為2，半周期為AB間的橫向距離，

T

2

=

52-42

=3，
∴T=6，即

2π

ω

=6
∴ω=

π

3

由圖象知函數過點（0，1）
∴1=2cosφ
∴φ=2kπ+

π

3

，k∈Z
∵0≤φ≤π
∴φ=

π

3

，函數的解析式為：f（x）=2cos（

π

3

x+

π

3

），A（-1，2），B（2，-2）
直線AB的方程：

y-2

2+2

=

x+1

-1-2

，即y=-

4

3

x+

2

3

，
直線AB與函數f（x）的圖象圍成的封閉圖形的面積為2

∫

1 2 -1

[2cos(

π

3

x+

π

3

)+

4

3

x-

2

3

]dx
=2[

6

π

sin(

π

3

x+

π

3

) +

2

3

x2-

2

3

x] 

|

1 2 -1

=2[

6

π

sin(

π

3

×

1

2

+

π

3

) +

2

3

(

1

2

)2-

2

3

×

1

2

]-2[

6

π

sin(

π

3

×(-1)+

π

3

) +

2

3

(-1)2-

2

3

×(-1)]
=

12

π

-3．
故選B．

點評：本題考查了三角函數的圖象和性質，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式的方法，三角函數周期的求法，定積分的求法．考查計算能力．