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已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點M（
6
，1），O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線，試證明∠AOB=
π
2
．它的逆命題成立嗎？若成立，請給出證明；否則，請說明理由．
分析：（1）因為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點M（
6
，1），且離心率為
2
2
，所以
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
6
a2
+
1
b2
=1
，曲此能得到橢圓C的方程．
（2）若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=kx+m，直線l與橢圓C交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），由直線l與圓O相切得r=
|m|
1+k2
，聯立方程組
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得x2+2（kx+m）2=8，再由根與系數的關系和根的判別能夠推導出∠AOB=
π
2
．逆命題：已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若∠AOB=
π
2
，則直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線．結論成立．再進行證明．
解答：解：（1）因為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
（a＞b＞0）過點M（
6
，1），且離心率為
2
2
，
所以
c
a
=
2
2
a2=b2+c2
6
a2
+
1
b2
=1
，
解得
a2=8
b2=4
c2=4
，
故橢圓C的方程為
x2
8
+
y2
4
=1．
（2）若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y=kx+m，直線l與橢圓C交于不同的兩點A（x1，y1），B（x2，y2），
由直線l與圓O相切得r=
|m|
1+k2
，即r2=
m2
1+k2
=
8
3
．
聯立方程組
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，得x2+2（kx+m）2=8，
即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
則△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0．由方程根與系數的關系得：
x1+x2=
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，
從而y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
k2(2m2-8)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2
．
要證∠AOB=
π
2
，即
OA
⊥
OB
，只需證x1x2+y1y2=0，
即證
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，即證3m2-8k2-8=0，而
m2
1+k2
=
8
3
，
所以3m2-8k2-8=0成立．即∠AOB=
π
2
．
而當直線l的斜率不存在時，直線l為x=±
2
6
3
，
此時直線l與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1的兩個交點為（
2
6
3
，±
2
6
3
）或（-
2
6
3
，±
2
6
3
），
滿足
OA
⊥
OB
．綜上，有∠AOB=
π
2
．
逆命題：已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，若∠AOB=
π
2
，則直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線．結論成立．
證明：當直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx+m，直線l與橢圓C：
x2
8
+
y2
4
=1的兩個交點為A（x1，y1），B（x2，y2），聯立方程組
y=kx+m
x2
8
+
y2
4
=1
，
得x2+2（kx+m）2=8，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，
則△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，由方程根與系數的關系得：
x1+x2=
4km
1+2k2
x1x2=
2m2-8
1+2k2
，
則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
k2(2m2-8)
1+2k2
-
4k2m2
1+2k2
+m2=
m2-8k2
1+2k2
．
由∠AOB=
π
2
知，
OA
⊥
OB
，
即x1x2+y1y2=0，即
2m2-8
1+2k2
+
m2-8k2
1+2k2
=0，
所以3m2-8k2-8=0．因為圓心到直線l的距離d=
|m|
1+k2
，
則d2=
m2
1+k2
=
m2
1+
3m2-8
8
=
8
3
，而r2=
8
3
，此時直線y=kx+m與圓O相切．
當直線l的斜率不存在時，由
OA
⊥
OB
可以計算得到直線l與橢圓
x2
8
+
y2
4
=1的兩個交點為（
2
6
3
，±
2
6
3
）或
（-
2
6
3
，±
2
6
2
），
此時直線l為x=±
2
6
3
．滿足圓心到直線的距離等于半徑，即直線與圓相切．
綜上，其逆命題成立．
點評：本題考查橢圓方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）過點M（
6
，1，O是坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點A、B為橢圓C上相異兩點，且
OA
⊥
OB
，判定直線AB與圓O：x2+y2=
8
3
的位置關系，并證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1  (a＞b＞0)過點M(
6
，1)，O為坐標原點
（1）求橢圓方程
（2）已知直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，若直線l是圓O：x2+y2=
8
3
的一條切線，求證：∠AOB=
π
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•德陽三模）已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點M(
6
，1)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知與圓x2+y2=
8
3
相切的直線l與橢圓C相交于不同兩點A、B，O為坐標原點，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2010•宿州三模）已知離心率為
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點為F，上頂點為E，直線EF截圓x2+y2=1所得弦長為
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過D（-2，0）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B，
AB
=2
AM
．試探究
|MD|
|MA|
的取值范圍．

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