Question

已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長為4(+1)。一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點的任一點，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點分別為A、B和C、D，
(1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁·k₂=1；
(3)是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)由題意知，橢圓離心率為，
則，
又，所以可解得，
所以c²=4，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
所以橢圓的焦點坐標(biāo)為(±2，0)，因為雙曲線為等軸雙曲線，且頂點是該橢圓的焦點，
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
(2)設(shè)點P(x₀，y₀)，則，
所以，
又點P(x₀，y₀)在雙曲線上，所以有，
即，所以；
(3)假設(shè)存在實數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立，
則由(2)知k₁·k₂=1，所以設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2)，
則直線CD的方程為，
由方程組，消y得：，
設(shè)，
則由韋達(dá)定理得：，
所以，
同理可得，
又因為|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|，
所以有，
所以存在常數(shù)，使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立．