Question

已知某數列的前三項分別是下表第一、二、三行中的某一個數，且前三項中任何兩個數不在下表的同一列．

	第一列	第二列	第三列
第一行	3	2	10
第二行	14	4	6
第三行	18	9	8

若此數列是等差數列，記作{a_n}，若此數列是等比數列，記作{b_n}．
（I）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（II）將數列{a_n}的項和數列{b_n}的項依次從小到大排列得到數列{c_n}，數列{c_n}的前n項和為S_n，試求最大的自然數M，使得當n≤M時，都有S_n≤2012．
（Ⅲ）若對任意n∈N，有a_n+1b_n+λb_nb_n+1≥a_nb_n+1成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由條件得a₁=3，a₂=6，a₃=9，b₁=2，b₂=6，b₃=18，由此可求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（II）當n≥2時，b_n=2•3^n-1=3•（2•3^n-2）=a_2•3^n-2，而等差數列{a_n}的公差d=3＞0是遞增的等差數列，計算S₃₉，S₄₀的值，即可得到結論；
（Ⅲ）由a_n+1b_n+λb_nb_n+1≥a_nb_n+1，分離參數λ≥

an

bn

-

an+1

bn+1

，確定右邊的最大值，即可得到結論．

解答：解：（I）由條件得a₁=3，a₂=6，a₃=9，所以等差數列{a_n}的公差d=3，通項公式a_n=3n；
b₁=2，b₂=6，b₃=18，等比數列{b_n}的公比q=3，通項公式b_n=2•3^n-1，n∈N^*．
（II）當n≥2時，b_n=2•3^n-1，而等差數列{a_n}的公差d=3＞0是遞增的等差數列．
a₃₅=105，a₃₆=108；b₄=54，b₅=162．
∴S₃₉=a₁+a₂+…+a₃₅+b₁+b₂+b₃+b₄=1970，S₄₀=a₁+a₂+…+a₃₆+b₁+b₂+b₃+b₄=2078，
故M=39．
（Ⅲ）由a_n+1b_n+λb_nb_n+1≥a_nb_n+1可得λ≥

an

bn

-

an+1

bn+1

．

an

bn

-

an+1

bn+1

=

3n

2•3n-1

-

3n+3

2•3n

=

2n-1

2•3n-1

（n≥1，n∈N^*）
而當n≥1時，

2(n+1)-1

2•3(n+1)-1

-

2n-1

2•3n-1

=-

4(n-1)

2•3n

≤0，數列{

2n-1

2•3n-1

}是遞減數列，
∴當n=1時，

an

bn

-

an+1

bn+1

取得最大項為

1

2

．
∴λ≥

1

2

．

點評：本題考查數列的通項與數列求和問題，考查恒成立問題，確定數列的通項是關鍵．