Question

已知集合A=B，試問是否存在實數a，使得AB=？
若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

存在滿足條件AB=的實數a,其取值范圍是（-4，+∞）

方法一 假設存在實數a滿足條件AB=，則有
（1）當A≠時，由ABB=，知集合A中的元素為非正數，
設方程x²+(2+a)x+1=0的兩根為x₁,x₂,則由根與系數的關系，得

（2）當A=時，則有△=(2+a)²-4＜0，解得-4＜a＜0.
綜上（1）、（2），知存在滿足條件AB=的實數a,其取值范圍是（-4，+∞）.
方法二 假設存在實數a滿足條件AB≠，則方程x²+(2+a)x+1=0的兩實數根x₁,x₂至少有一個為正，
因為x₁·x₂=1＞0，所以兩根x₁,x₂均為正數.
則由根與系數的關系，得解得
又∵集合的補集為∴存在滿足條件AB=的實數a,其取值范圍是（-4，+∞）.