Question

已知函數f（x）=（ x-1）²，數列{a_n}是公差為d的等差數列，{b_n}是公比為q（q∈R且q≠1）的等比數列，若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q+1），b₃=f（q-1）．
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設數列{c_n}的前n項和為S_n，且對一切自然數n，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，求

lim

n→∞

S2n+1

S2n

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知d²-（d-2）²=2d，解得d=2．所以a_n=2（n-1）．再由

b3

b1

=q2，知

f(q+1)

f(q-1)

=q2=

q2

(q-2)2

．由此能夠導出b_n=3^n-1．
（Ⅱ）由題設知

c1

b1

=a2，c₁=2．所以

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

+

cn

bn

=an+1，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an，由此能夠推導出S_2n+1，S_2n．

解答：解：（Ⅰ）∵a₃-a₁=2d，∴f（d+1）-f（d-1）=2d．
即d²-（d-2）²=2d，解得d=2．
∴a₁=f（2-1）=0．∴a_n=2（n-1）．
∵

b3

b1

=q2，∴

f(q-1)

f(q+1)

=q2=

(q-2)2

q2

．
∵q≠0，q≠1，∴q=-2．
又b₁=f（q+1）=4，∴b_n=4•（-2）^n-1．
（Ⅱ）由題設知

c1

b1

=a2，∴c₁=a₂b₁=8．
當n≥2時，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an，
兩式相減，得

cn

bn

=an+1-an=2．
∴c_n=2b_n=2×3^n-1（n≥2）．
∴S_2n+1=c₁+c₂+c₃+…+c_2n+1=8+2（3+3²+…+3²ⁿ）=8+2×

32n+1-3

3 -1

=3²ⁿ⁺¹+5．
即S_2n=3²ⁿ⁺¹+5-2×3²ⁿ=3²ⁿ+5．
∴

lim

n→∞

S2n+1

S2n

=

lim

n→∞

32n+1+5

32n+5

=3

點評：本題考查數列的性質及其應用，解題時要注意公式的靈活運用，同時考查了數列的極限，屬于中檔題．