Question

（本小題滿分13分）
已知數列{}滿足,
（I）寫出,并推測的表達式；
（II）用數學歸納法證明所得的結論。

Answer 1

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,   猜測  。(Ⅱ)見解析。

試題分析： （1）根據數列的前幾項來歸納猜想得到結論。
（2）在第一問的基礎上，進一步運用數學歸納法來加以證明即可。
解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,   猜測    （4分）  
(Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得當n＝1時，命題成立；        
②假設時,命題成立，即＝2－,      （6分）
那么當時, ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,
且＋＋……＋＝2k＋1－ （8分）
∴2k＋1－＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,
∴2＝2＋2－, ＝2－,
即當n＝k＋1時,命題成立. 
根據①②得n∈N+  , ＝2－都成立   （13分）
點評：解決該試題的關鍵是猜想的正確性，以及和運用數學歸納法證明命題時，要注意假設的運用，推理論證得到證明。