Question

已知函數，若f（6-a²）＞f（a）則實數a的取值范圍是（ ）
A．（-∞，-3）∪（2，+∞）
B．（-∞，-2）∪（3，+∞）
C．（-3，2）
D．（-2，3）

Answer 1

【答案】分析：根據函數的解析式判斷函數的單調性，當x≤e時，f（x）=-x²+6x+e²-5e-2=-（x-3）²+e²-5e+7在（-∞，e]單調遞增，當x＞e時，f（x）=x-2lnx，利用導數研究函數的單調性，從而判斷出函數在定義域R上的單調性，根據函數的單調性把不等式f（6-a²）＞f（a）轉化為6-a²＞a，解此不等式即可求得結果．
解答：解：當x≤e時，f（x）=-x²+6x+e²-5e-2=-（x-3）²+e²-5e+7在（-∞，e]單調遞增，
且f（e）=e-2，
當x＞e時，f（x）=x-2lnx，
∴f′（x）=1-=＞0，
∴f（x）=x-2lnx在（e，-+∞）單調遞增，
∴f（x）＞f（e）=e-2，
綜上函數f（x）為R上的增函數，
由f（6-a²）＞f（a）得6-a²＞a，
解得-3＜a＜2
故選C．
點評：本題考查分段函數的單調性，以及利用導數研究函數的單調性，根據函數的單調性把不等式f（6-a²）＞f（a）轉化為6-a²＞a，是解題的關鍵，屬中檔題．