Question

已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一組斜率為的直線與橢圓C都相交于不同兩點(diǎn)、。

（1）求橢圓C的方程；

（2）證明：線段的中點(diǎn)都有在同一直線上；

（3）對(duì)于（2）中的直線，設(shè)與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，試探究橢圓上使MNQ面積為的點(diǎn)Q有幾個(gè)？證明你的結(jié)論。（不必具體求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)）

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）（法一）

        橢圓C的方程為

（法二）由，解得  橢圓C的方程為

（2）（法一）設(shè)、，的中點(diǎn)坐標(biāo)，則

，兩式相減得

又，， 代入，得

線段的中點(diǎn)都有在同一直線：上；

（法二）設(shè)直線的方程為，代入得

，設(shè)、，的中點(diǎn)坐標(biāo)，則

，則

消去得

線段的中點(diǎn)都有在同一直線：上；（中點(diǎn)弦、定直線、消參求軌跡）

（3）代入得

或           |MN|=,

設(shè)點(diǎn)Q到直線的距離為，則由=得

（法一）設(shè)Q在與直線MN平行的直線上，則直線與直線MN的距離為          解得，

時(shí)，代入得①

，

方程①有兩不等實(shí)解，即有兩個(gè)不同點(diǎn)Q滿足；同理可得，時(shí)也有兩個(gè)不同的點(diǎn)Q滿足。

綜上，共有4個(gè)不同點(diǎn)Q滿足條件

(若求點(diǎn)Q坐標(biāo),則為)

法(二)設(shè)D為橢圓上不同于M、N的任一點(diǎn)，D到MN的距離為

，

即橢圓C上點(diǎn)到直線MN距離的最大值為，

而,故由圖可知，橢圓C上有4個(gè)點(diǎn)Q能滿足條件。

 

【解析】略