Question

已知二次函數y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),  f(1)=0.

求y=f(x)的表達式；

若任意實數x都滿足等式f(x)·g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹［g(x)］為多項式，n∈N^*),試用t表示a_n和b_n；

設圓C_n的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，圓C_n與C_n+1外切(n=1,2,3,…);{r_n}是各項都是正數的等比數列，記S_n為前n個圓的面積之和，求r_n、S_n.

Answer 1

【小題1】f(x)=x²－(t+2)x+t+1

【小題2】a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

【小題3】r_n=

S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］

解析:

【小題1】設f(x)=a(x－)²－，由f(1)=0得a=1.

∴f(x)=x²－(t+2)x+t+1.

【小題2】將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得：

(x－1)［x－(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹，上式對任意的x∈R都成立，取x=1和x=t+1分別代入上式得：

且t≠0，解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹－1］，b_n=［1－(t+1ⁿ)

【小題3】由于圓的方程為(x－a_n)²+(y－b_n)²=r_n²，又由(2)知a_n+b_n=1，故圓C_n的圓心O_n在直線x+y=1上，又圓C_n與圓C_n+1相切，故有r_n+r_n+1=｜a_n+1－a_n｜=(t+1)ⁿ⁺¹?

設{r_n}的公比為q，則

                                                                 ②÷①得q==t+1，代入①得r_n=

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)=［(t+1)²ⁿ－1］