Question

已知如圖在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC=1，若三棱錐P-ABC的四個頂點都在某一個球面上，則該球的表面積為（　　）

• A、3π
• B、4π
• C、

  3 π

  2

• D、12π

Answer 1

分析：取PC的中點O，連結OA、OB．由線面垂直的判定與性質，證出BC⊥PB且PA⊥AC，得到△PAC與△PBC是具有公共斜邊的直角三角形，從而得出OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，所以P、A、B、C四點在以O為球心的球面上．根據題中的數據，利用勾股定理算出PC長，進而得到球半徑R=

3

2

，利用球的表面積公式加以計算，可得答案．

解答：解：取PC的中點O，連結OA、OB
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AC⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
∵PB?平面PAC，∴BC⊥PB，
∵OB是Rt△PBC的斜邊上的中線，OB=

1

2

PC．
同理可得：Rt△PAC中，OA=

1

2

PC，
∴OA=OB=OC=OP=

1

2

PC，可得P、A、B、C四點在以O為球心的球面上．
Rt△ABC中，AC=BC=1，可得AC=

AB2+BC2

=

2

，
Rt△PAC中，PA=1，可得PC=

PA2+AC2

=

3

．
∴球O的半徑R=

1

2

PC=

3

2

，可得球O的表面積為S=4πR²=4π×(

3

2

)2=3π．
故選：A

點評：本題給出特殊的三棱錐，由它的外接球的表面積．著重考查了線面垂直的判定與性質、勾股定理與球的表面積公式等知識，屬于中檔題．