Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓 .與有相同的離心率,過點的直線與,依次交于A,C,D,B四點(如圖).當直線過的上頂點時, 直線的傾斜角為.

（1）求橢圓的方程;

（2）求證:;

（3）若,求直線的方程.

 

Answer 1

【答案】

 

解:(1) .(2)見解析；(3)

 

【解析】本試題主要是考查了橢圓方程的求解，以及利用直線與橢圓的位置關系求解直線的方程，證明線段相等的綜合運用。

（1）利用橢圓的幾何性質表示得到a,b,c的關系式，從而得到橢圓的方程。

（2）設直線與橢圓方程聯系，借助于坐標的關系來證明相等即可。

（3）在第二問的基礎上，進一步得到關于直線斜率k的表達式，化簡得到直線的方程，

解:(1),因此橢圓的方程為.

(2)當直線垂直軸時,易求得

因此,

當直線不垂直軸時,設

由     ①,

由    ②,

設,則是方程①的解, 是方程②的解.,線段AB,CD的中點重合,

(3).由(2)知,,當直線垂直軸時,不合要求;

當直線不垂直軸時,設,由(2)知,

,,

,化簡可得:

  ,