Question

給出封閉函數的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，則稱函數y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則函數①f（x）=3x-1；②f(x)=-

1

2

x2-

1

2

x+1；③f(x)=log2(x2+1)；④f(x)=x

1

2

，其中在D上封閉的是

②③④

．（填序號即可）

Answer 1

分析：根據封閉函數的定義，函數f（x）在定義域D上的值域為D的子集，則函數f（x）就是封閉函數．因此分別求出各個選項中的函數在區間D=（0，1）上的值域，再看這個值域是否為D的子集，即可判斷其是否為封閉函數．由此可得本題答案．

解答：解：對于①，當定義域D=（0，1）時，顯然f（x）=3x-1∈（-1，2）∉D，
例如當x=

1

3

時，f（x）=0∉D，故①的函數不是封閉函數；
對于②，f(x)=-

1

2

x2-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

7

8

∵二次函數圖象開口向下，定義域D=（0，1）在對稱軸x=-

1

2

的右側，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，可得f（x）∈（0，1）=D，即②是封閉函數；
對于③，當定義域D=（0，1）時，
∵x²+1∈（1，2），∴f(x)=log2(x2+1)∈（0，1）=D，即③是封閉函數；
對于④，當定義域D=（0，1）時，顯然有f（x）=x

1

2

∈（0，1）=D，即④是封閉函數
綜上所述，②③④是封閉函數．
故答案為：②③④

點評：本題給出封閉函數的定義，要我們判斷幾個函數是不是（0，1）上的封閉函數．著重考查了函數的定義域與值域、函數的單調性等知識，屬于中檔題．