Question

(12分)為了提高產品的年產量，某企業擬在2010年進行技術改革。經調查測算，產品當年的產量x萬件與投入技術改革費用m萬元(m≥0)滿足x＝3-(k為常數)．如果不搞技術改革，則該產品當年的產量只能是1萬件．已知2010年生產該產品的固定投入為8萬元，每生產1萬件該產品需要再投入16萬元．由于市場行情較好，廠家生產的產品均能銷售出去。廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品生產成本的1.5倍(生產成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．
(1)將2010年該產品的利潤y萬元(利潤＝銷售金額－生產成本－技術改革費用)表示為技術改革費用m萬元的函數；
(2)該企業2010年的技術改革費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

Answer 1

（1）y ＝－[＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．
（2）該企業2010年的技術改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．

解：(1)由題意可知，當m＝0時，x＝1(萬件)，
∴1＝3－k，∴k＝2，∴x＝3－，
每件產品的銷售價格為1.5×(元)，
∴2010年的利潤
y＝x·[1.5×]－(8＋16x)－m
＝－[＋(m＋1)]＋29(元)(m≥0)．
(2)∵m≥0，∴＋(m＋1)≥2＝8，
∴y≤29－8＝21，
當＝m＋1，即m＝3，y_max＝21.
∴該企業2010年的技術改革費用投入3萬元時，廠家的利潤最大．