Question

已知，．
（1）設，求函數的圖像在處的切線方程；
（2）求證：對任意的恒成立；
（3）若，且，求證：．

Answer 1

（1）；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

試題分析：（1）先求導函數，由導數的幾何意義知，切線斜率為，利用直線的點斜式方程可求；（2）構造函數，只需證明函數的最小值大于等于0即可，先求導得，，因導數等于0的根不易求出，再求導得，，可判斷，故遞增，且，故在單調遞減，在單調遞增 ∴得證；（3）結合已知條件或已經得到的結論，得證明或判斷的條件，是構造法求解問題的關鍵，由（2）知，依次將代數式放大，圍繞目標從而證明不等式.
試題解析：（1），，則 ，∴圖像在處的切線方程為即    3分
（2）令，          4分
則
∵與同號 ∴ ∴
∴ ∴在單調遞增                                 6分
又，∴當時，；當時，
∴在單調遞減，在單調遞增 ∴
∴ 即對任意的恒成立                     8分
（3）由（2）知                                                9分
則           
                       11分
由柯西不等式得
∴                                    13分
同理  
三個不等式相加即得證。                                              14分