Question

如圖，過圓x²+y²=4與x的兩個交點A、B，作圓的切線AC、BD，再過圓上任意一點H作圓的切線，交AC、BD于C、D兩點，設AD、BC的交點為R．
（1）求動點R的軌跡E方程；
（2）過曲線E的右焦點作直線l交曲線E于M、N兩點，交y軸于P點，記

PM

=λ1

MF

，

PN

=λ2

NF

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（1）設H點的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4．由題意得以H為切點的圓的切線的方程為x₀x+y₀y=4．進而求出點C，D的坐標，可求出直線AD與BC的方程，聯立兩條直線的方程可得動點R的軌跡方程．
（2）由（1）得曲線E是焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F（

3

，0），分情況討論①當直線l的斜率為0時，M，N，P三點在x軸上，得M，N，P的坐標進而表示出λ₁+λ₂的數值．②當直線l的斜率不為0時，設直線MN的方程為：x=my+

3

，則點P的坐標為（0，-

3

m

），且設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．再表達出λ₁+λ₂的表達式結合著根與系數的關系得到其為定值-8．

解答：解：（1）設H點的坐標為（x₀，y₀），則x₀²+y₀²=4
由題意得y₀≠0，且以H為切點的圓的切線的斜率為：-

x0

y0

，
故切線的方程為：y-y0=-

x0

y0

(x-x0)
即以H為切點的圓的切線方程為：x₀x+y₀y=4．
∵A（-2，0），B（2，0）將x=±2代入上述方程得C（-2，

4+2x0

y0

），D（2，

4-2x0

y0

）
則直線AD的方程為：

y

4-2x0 y0

=

x+2

4

，直線BC的方程為：

y

4+2x0 y0

=

x+2

-4

，
將兩式相乘并化簡得動點R的軌跡方程為：

x2

4

+y2=1．
（2）由（1）得曲線E是焦點在x軸上的橢圓且其右焦點為F（

3

，0），
①當直線l的斜率為0時，M，N，P三點在x軸上，
不妨設M（2，0），N（-2，0）且P（0，0），此時有|PM|=2，|MF|=2-

3

，|PN|=2，|NF|=2+

3

所以λ₁+λ₂=

PM

MF

+

PN

NF

=

|PM|

|MF|

-

|PN|

|NF|

=-

2

2- 3

-

2

2+ 3

=-8．
②當直線l的斜率不為0時，設直線MN的方程為：x=my+

3

則點P的坐標為（0，-

3

m

），且設點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯立

x=my+ 3 x2+4y2=4

消去x可得：(m2+4)y2+2

3

my-1=0
則y1+ y2=

-2 3 m

m2+4

，y1y2=

-1

m2+4

所以λ₁+λ₂=

y1+ 3 m

- y1

+

y2+ 3 m

-y2

=-2-

3

m

•

y1+y2

y1y2

=-8．
所以λ₁+λ₂為定值為-8．

點評：定值、定點問題是高考考查的重點，此類問題多與直線方程、圓錐曲線方程有關，解決此類問題得到關鍵是根據題意結合根與系數的關系正確的表達出λ₁+λ₂的表達式，進行化簡可得定值．