Question

設數列{a_n}是一個無窮數列，記Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1，n∈N^*．
（1）若{a_n}是等差數列，證明：對于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）對任意的n∈N^*，若T_n=0，證明：{a_n}是等差數列．

Answer 1

分析：（1）利用遞推式，再寫一式，兩式相減，根據{a_n}是等差數列，即可得到結論；
（2）寫出Tn+1=

n+3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0，兩式相減，即可證得結論．

解答：證明：（1）∵Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1
∴2Tn=2

n+2

i=1

2i-1ai+4a1-2a3-2n+3an+1
兩式相減可得-Tn=a3-a1+

n+1

i=1

2i(ai+1-ai)+2n+2(an+1-an+2)
∵{a_n}是等差數列，設其公差為d
∴-Tn=2d+d

n+1

i=1

2i+2n+2d=0，∴對于任意的n∈N^*，T_n=0；
（2）∵Tn=

n+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+2an+1=0
∴Tn+1=

n+3

i=1

2i-1ai+2a1-a3-2n+3an+2=0
兩式相減可得a_n+1-2a_n+2+a_n+3=0
∵T1=

1+2

i=1

2i-1ai+2a1-a3-21+2a2=0
∴a₁-2a₂+a₃=0
∴a_n+1-2a_n+a_n-1=0
∴{a_n}是等差數列．

點評：本題主要考查數列的遞推式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．