Question

（2012•廈門模擬）本小題設有（1）（2）（3）三個選考題，每題7分，請考生任選兩題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知e1=

1 1

是矩陣M=

a  1 0  b

屬于特征值λ₁=2的一個特征向量．
（I）求矩陣M；
（Ⅱ）若a=

2 1

，求M¹⁰a．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系xOy中，A（l，0），B（2，0）是兩個定點，曲線C的參數方程為

AB

為參數）．
（I）將曲線C的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）以A（l，0為極點，|

AB

|為長度單位，射線AB為極軸建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）試證明柯西不等式：（a²+b²）（x²+y²）≥（ax+by）²（a，b，x，y∈R）；
（Ⅱ）若x²+y²=2，且|x|≠|y|，求

1

(x+y ) 2

+

1

(x-y ) 2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）（I）由題意，根據特征值與特征向量的定義，建立方程組，即可求得矩陣M；
（Ⅱ）求出矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2），從而可求矩陣M的另一個特征值與特征向量，將向量用特征向量線性表示，進而可求結論；
（2）（I）由

x=2+cosθ y=sinθ

消去θ，即可得普通方程；
（Ⅱ）將原點移至A（1，0），則相應曲線C的方程為（x-1）²+y²=1，從而可得曲線C的極坐標方程；
（3）（I）利用作差法即可證得；
（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，則x=

u+v

2

，y=

u-v

2

，根據

x

2

+

y

2

=2，可得u²+v²=4，由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，從而可求

1

(x+y) 2

+

1

(x+y) 2

的最小值．

解答：（1）解：（I）由題意，

a 1 0 b

1 1

=2

1 1

，∴

a+1=2 b=2

，∴a=1，b=2
∴矩陣M=

1 1 0 2

；
（Ⅱ）由（I）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-1）（λ-2）
∴矩陣M的另一個特征值為λ₂=1
設

e2

=

x y

是矩陣M屬于特征值1的特征向量，則

1 1 0 2

x y

=

x y

∴

x+y=x 2y=y

，取x=1，則

e2

=

1 0

∴

a

=

e1

+

e2

∴M10

a

=210

1 1

+110

1 0

=

1025 1024

（2）（I）由

x=2+cosθ y=sinθ

消去θ可得（x-2）²+y²=1；
（Ⅱ）將原點移至A（1，0），則相應曲線C的方程為（x-1）²+y²=1，即x²+y²-2x=0
∴曲線C的極坐標方程為ρ-2cosθ=0
（3）（I）證明：左邊-右邊=a²y²+b²x²-2abxy=（ay-bx）²≥0，∴左邊≥右邊
即(

a

2

+

b

2

)(

x

2

+

y

2

)≥

(ax+by)

2

(a，b，x，y∈R)
（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，則x=

u+v

2

，y=

u-v

2

∵

x

2

+

y

2

=2，∴（u+v）²+（u-v）²=8，∴u²+v²=4
由柯西不等式得：(

1

u2

+

1

v2

)(u2+v2)≥4，當且僅當u=v=

2

，即x=

2

，y=0或x=0，y=

2

時，

1

(x+y) 2

+

1

(x+y) 2

的最小值是1．

點評：本題是選做題，考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，考查坐標系與參數方程，考查柯西不等式的證明與運用，屬于中檔題．