Question

如圖，已知小矩形花壇ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，現要將小矩形花壇建成大矩形花壇AMPN，使點B在AM上，點D在AN上，且對角線MN過點C.
(1)要使矩形AMPN的面積大于32 m²，AN的長應在什么范圍內？
(2)M，N是否存在這樣的位置，使矩形AMPN的面積最小？若存在，求出這個最小面積及相應的AM，AN的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）在(2，)或(8，＋∞)內
（2）AM＝6，AN＝4時，S_min＝24.

解：(1)設AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面積為S，則S＝xy.
∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，
∴S＝ (y>2)．
由>32，得2<y<，或y>8，
∴AN的長度應在(2，)或(8，＋∞)內．
(2)當y>2時，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，
當且僅當y－2＝，
即y＝4時，等號成立，解得x＝6.
∴存在M，N點，當AM＝6，AN＝4時，S_min＝24.