Question

在斜四棱柱中，已知底面是邊長為4的菱形，，且點在面上的射影是底面對角線與AC的交點O，設點E是的中點，．         

   （Ⅰ） 求證：四邊形是矩形；

   （Ⅱ） 求二面角的大小；

   （Ⅲ） 求四面體的體積．

Answer 1

（1）證明略（2）二面角E─BD─C的大小為（3）

解析:

解法一：（Ⅰ） 連接． 因為四邊形為菱形，

所以,又面，

所以． 而，所以．

因為四邊形是平行四邊形，所以四邊形是矩形．   4分

   （Ⅱ） 連接OE，因為,所以平面，

∴ ,即為二面角E──C的平面角．

在菱形中，

又E是的中點，．所以．

在△中，,

∴ ，,

所以在△中，有，即二面角E─BD─C的大小為．  9分

   （Ⅲ） 設點D到平面的距離為h，則有．

因為是的中點，所以

  14分

解法二：（Ⅰ） 連結AC、BD相交于O，連結．

由已知，有AC⊥BD，⊥面ABCD，故可建立空間直角坐標系，

且以下各點的坐標分別為：

，  1分

設,

，

 ． 3分

又, 四邊形為平行四邊形．

是矩形． 4分

   （Ⅱ） 設,則．

， 由 可求得          

∴．

設為平面EBD的法向量，

則由，得

可取 ,

 ．     6分

平面平面BDC的法向量為，

而 ． 

∴ 二面角E─BD─C的大小為． 9分

   （Ⅲ） 設為平面的法向量，

則由 ,

得          

∴ 可取，．

到平面的距離 ．  11分

而，又由（Ⅰ）知， ，