Question

（本小題滿分12分）
已知方向向量為v=(1,)的直線l過點（0，－2）和橢圓C：
的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot∠MON ≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存
在，請說明理由.

Answer 1

（I）解法一：直線， ①
過原點垂直的直線方程為， ②
解①②得
∵橢圓中心（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，

∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）.
 故橢圓C的方程為 ③
解法二：直線.
設原點關于直線對稱點為（p，q），則解得p=3.
∵橢圓中心（0，0）關于直線的對稱點在橢圓C的右準線上，
   ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）.
 故橢圓C的方程為 ③
（II）解法一：設M（），N（）.
當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得

 


點O到直線MN的距離
即

即
整理得
當直線m垂直x軸時，也滿足.
故直線m的方程為
或或
經檢驗上述直線均滿足.
所以所求直線方程為或或
解法二：設M（），N（）.

當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得
 
∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點，
∴|MN|=|ME|+|NE|
=
以下與解法一相同.
解法三：設M（），N（）.
設直線，代入③，整理得



即


∴=，整理得      
解得或
故直線m的方程為或或
經檢驗上述直線方程為
所以所求直線方程為或或解析