Question

如圖，橢圓的頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)為，.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；
(Ⅱ)設(shè)n 為過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)，是與n垂直相交于P點(diǎn)，與橢圓相交于A, B兩點(diǎn)的直線(xiàn)，.是否存在上述直線(xiàn)使成立？若存在，求出直線(xiàn)的方程；并說(shuō)出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)使成立的直線(xiàn)不存在.

解析試題分析：(Ⅰ)由知a²+b²=7,             ①
由知a=2c,          ②
又b²=a²-c²                                    ③
由 ①，②，③解得a²=4,b²=3,
故橢圓C的方程為
(Ⅱ) 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
假設(shè)使成立的直線(xiàn)l存在，

(i) 當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的方程為,
由l與n垂直相交于P點(diǎn)且得,即m²=k²+1
由得x₁x₂+y₁y₂=0
將y=kx+m代入橢圓方程,得(3+4k²)x²+8kmx+(4m²-12)=0,
由求根公式可得x₁+x₂=            ④
x₁+x₂=         ⑤


將④，⑤代入上式并化簡(jiǎn)得       ⑥
將代入⑥并化簡(jiǎn)得，矛盾.
即此時(shí)直線(xiàn)不存在.
（ii）當(dāng)垂直于軸時(shí)，滿(mǎn)足的直線(xiàn)的方程為，
則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為或
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
∴ 此時(shí)直線(xiàn)也不存在.
綜上可知，使成立的直線(xiàn)不存在.
考點(diǎn)：本題考查了橢圓方程的求法及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng)：橢圓的概念和性質(zhì)，仍將是今后命題的熱點(diǎn)，定值、最值、范圍問(wèn)題將有所加強(qiáng)；利用直線(xiàn)、弦長(zhǎng)、圓錐曲線(xiàn)三者的關(guān)系組成的各類(lèi)試題是解析幾何中長(zhǎng)盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關(guān)的綜合題仍是今后命題的重點(diǎn)；與其它知識(shí)的交匯(如向量、不等式)命題將是今后高考命題的一個(gè)新的重點(diǎn)、熱點(diǎn).