Question

已知f(x)=x³-3x²-3mx+4(其中m為常數(shù))有極大值為5.

(1)求m的值；

(2)求曲線y=f(x)過原點的切線方程.

Answer 1

解:（1）∵f(x)=x³-3x²-3mx+4,

∴f′(x)=3x²-6x-3m.

令3x²-6x-3m=0,則Δ=36(m+1).

①當Δ≤-1時，函數(shù)f(x)無極值.

②當Δ＞0,即m＞-1時，f′(x)=0有相異兩實根，設兩根為α,β（α＜β）,

f′(x)=3(x-α)(x-β),其中α=1-,β=1+(m＞-1).

當x變化時，f′(x),f(x)的變化情況如下：

X	(-∞,α)	α	(α,β)	β	(β,+β)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	?	極大	?	極小	?

∴x=1-時，f（x）取極大值，并且f(1-)

=(1-)³-3(+1)²-3m(+1)+4

=2(m+1)-3m+2.

由2(m+1)=3(m+1),4(m+1)=9,m=.

∴當m=時，y=f(x)取得極大值5.

（2）曲線過點（x₁,x₁³-3x₁²-3mx₁+4）的切線斜率為3(x₁²-2x₁-m),切線方程為：

y=3(x₁²-2x₁-m)(x-x₁)+x₁³-3x₁²-3mx₁+4,切線過原點（0,0）,所以-3x₁（x₁²-2x₁-m）+x²₁-3mx₁+4=0，3x₁³+x₁+2＞0,

∴x₁=2，代入切線方程得y=-3mx.

對于m=的那條曲線，切線為y=x.