Question

（Ⅰ）已知函數,若存在，使得,則稱是函數的一個不動點，設二次函數.

(Ⅰ) 當時，求函數的不動點；

(Ⅱ) 若對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，求實數的取值范圍；

(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數的圖象上兩點的橫坐標是函數的不動點，且直線是線段的垂直平分線，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)函數的不動點為 。

（Ⅱ） 

（Ⅲ）實數的取值范圍.

【解析】

試題分析：

思路分析：(Ⅰ) 解方程確定函數的不動點為 。

（Ⅱ）由題意，得到方程恒有兩個不相等的實數根，

根據判別式，解得  。

（Ⅲ）設函數的兩個不同的不動點為得到,，

且是的兩個不等實根， 得到

直至中點坐標為。根據

，且在直線上得到a,b的關系。

解：(Ⅰ) 當時，，

解，得。

所以函數的不動點為 。

（Ⅱ）因為 對于任意實數，函數恒有兩個不同的不動點，

所以，對于任意實數，方程恒有兩個不相等的實數根，

即方程恒有兩個不相等的實數根，

所以  ，

即  對于任意實數，，

所以   ，解得   

（Ⅲ）設函數的兩個不同的不動點為，則,

且是的兩個不等實根， 所以

直線的斜率為1，線段中點坐標為

因為 直線是線段的垂直平分線，

所以 ，且在直線上

則        

所以  當且僅當時等號成立

又      所以 實數的取值范圍.

考點：新定義問題，均值定理的應用，一元二次方程根的研究。

點評：難題，本題給出“不動點”的概念，解題過程中，應注意理解并應用這一概念。將問題轉化成一元二次方程問題，結合直線方程，應用均值定理，達到解題目的。